文章目录
引言一、定义二、判别法写在最后
引言
昨天学了矩阵的合同关系，老汤讲义里也列举了三大关系的定义和判别法，方便我们进行区分。但是光看还是难以入脑，为此，我想自己梳理一遍，顺带也复习一下线代之前的所学。
一、定义
矩阵等价 —— 设
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 为同型矩阵，若存在可逆矩阵
P
,
Q
\pmb{P,Q}
P,Q ，使得
P
A
Q
=
B
\pmb{PAQ=B}
PAQ=B ，称矩阵
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 等价，记为
A
≅
B
\pmb{A\cong B}
A≅B 。
矩阵相似 —— 设
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 为
n
n
n 阶矩阵，若存在可逆矩阵
P
\pmb{P}
P ，使得
P
−
1
A
P
=
B
\pmb{P^{-1}AP=B}
P−1AP=B ，称矩阵
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 相似，记为
A
∼
B
\pmb{A\sim B}
A∼B 。
矩阵合同 —— 设
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 为
n
n
n 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵
P
\pmb{P}
P ，使得
P
T
A
P
=
B
\pmb{P^TAP=B}
PTAP=B ，称矩阵
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 合同，记为
A
≃
B
\pmb{A\simeq B}
A≃B 。
从定义来看，在考研范围内，合同的要求最高，为
n
n
n 阶实对称矩阵，相似要求为方阵，而等价则只要求同型。
三者关系的定义形式也很类似，都是存在可逆矩阵，使得一个矩阵左乘右乘，变为另一个矩阵。容易看出，相似和合同关系一定是等价关系，因为相似和合同中的矩阵
P
,
P
T
,
P
−
1
\pmb{P,P^T,P^{-1}}
P,PT,P−1 都是可逆的。
我们也可以发现，如果矩阵
P
\pmb{P}
P 满足
P
T
=
P
−
1
\pmb{P^T=P^{-1}}
PT=P−1 ，相似关系和合同关系似乎就等价了。恰巧，这样的矩阵我们也学过，叫作正交矩阵。但是实际上是有些问题的，我们需要借助对角化的内容来进行论证，请看我的。
假设两个实对称矩阵
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 相似，是否能推出一定合同呢？答案是肯定的。 证明： 由
A
∼
B
\pmb{A\sim B}
A∼B ，有存在可逆矩阵
P
\pmb{P}
P ，使得
P
−
1
A
P
=
B
\pmb{P^{-1}AP=B}
P−1AP=B 。又因为矩阵
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 为实对称矩阵，一定可以相似对角化，即存在正交矩阵
Q
1
,
Q
2
\pmb{Q_1,Q_2}
Q1,Q2 ，使得
Q
1
−
1
A
Q
=
Λ
=
Q
2
−
1
B
Q
2
\pmb{Q_1^{-1}AQ=\Lambda=Q^{-1}_2BQ_2}
Q1−1AQ=Λ=Q2−1BQ2 。由
Q
1
T
=
Q
1
−
1
,
Q
2
T
=
Q
2
−
1
\pmb{Q_1^T=Q_1^{-1},Q_2^T=Q_2^{-1}}
Q1T=Q1−1,Q2T=Q2−1 ，则
Q
1
T
A
Q
1
=
Q
2
T
B
Q
2
\pmb{Q_1^TAQ_1=Q_2^TBQ_2}
Q1TAQ1=Q2TBQ2 ，两边同时左乘
(
Q
2
T
)
−
1
=
Q
2
\pmb{(Q_2^T)^{-1}=Q_2}
(Q2T)−1=Q2 ，右乘
Q
2
−
1
=
Q
2
T
\pmb{Q_2^{-1}=Q_2^T}
Q2−1=Q2T ，即
Q
2
Q
1
T
A
Q
1
Q
2
T
=
B
\pmb{Q_2Q_1^TAQ_1Q_2^T=B}
Q2Q1TAQ1Q2T=B ，整理可得
(
Q
1
Q
2
T
)
T
A
(
Q
1
Q
2
T
)
=
B
\pmb{(Q_1Q_2^T)^TA(Q_1Q_2^T)=B}
(Q1Q2T)TA(Q1Q2T)=B 证毕。
假设两个实对称矩阵
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 合同，是否能推出一定相似呢？答案是否定的。 证明： 由
A
≃
B
\pmb{A\simeq B}
A≃B ，存在可逆矩阵
P
\pmb{P}
P（非正交矩阵） ，使得
P
T
A
P
=
B
\pmb{P^TAP=B}
PTAP=B 。 矩阵
B
\pmb{B}
B 为实对称矩阵，一定可以相似对角化，有
Q
T
B
Q
=
Λ
\pmb{Q^{T}BQ=\Lambda}
QTBQ=Λ ，则有
Q
T
P
T
A
P
Q
=
Λ
\pmb{Q^TP^TAPQ=\Lambda}
QTPTAPQ=Λ 。将
A
\pmb{A}
A 单独放到一边，有
A
=
P
Q
Λ
Q
−
1
P
−
1
=
(
P
T
)
−
1
(
(
Q
T
)
−
1
Λ
Q
−
1
)
P
−
1
=
(
P
T
)
−
1
B
P
−
1
\pmb{A=PQ\Lambda Q^{-1}P^{-1}=(P^T)^{-1}((Q^T)^{-1}\Lambda Q^{-1})P^{-1}=(P^T)^{-1}BP^{-1}}
A=PQΛQ−1P−1=(PT)−1((QT)−1ΛQ−1)P−1=(PT)−1BP−1 。当且仅当
(
P
T
)
−
1
=
P
\pmb{(P^T)^{-1}=P}
(PT)−1=P 时，即
P
\pmb{P}
P 为正交矩阵时，有如上结论。
证毕。
第一个命题没有涉及到
P
\pmb{P}
P 这一可逆而不确定是否正交的矩阵，故可顺利进行。而第二个命题无法保证
P
\pmb{P}
P 正交，故无法进行下去。
二、判别法
如何判断两个同型矩阵
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 是否等价呢？ 给出判别法：若
r
(
A
)
=
r
(
B
)
r(\pmb{A})=r(\pmb{B})
r(A)=r(B) ，则矩阵
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 等价。
如何判断两个
n
n
n 阶矩阵
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 是否相似呢？ 给出判别法：若
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 的特征值相同且
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 均可以相似对角化，则矩阵
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 相似。
如何判断两个实对称矩阵
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 是否合同呢？ 给出判别法：
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 的正、负、零特征值个数相同。
从判别法可以看出，等价只要求两个矩阵的秩相同；而相似除秩相同外，还需要保证两个矩阵的行列式、迹、特征值、特征多项式也相同；合同则除秩相等外，还需保证其正、负、零特征值个数对应相同。
写在最后
在考研范围内，我们只能得出：
在实对称矩阵范围： 相似一定合同，合同不一定相似；相似一定等价，合同一定等价。
在一般
n
n
n 阶矩阵范围： 相似和合同无关；相似一定等价，合同一定等价。